Hallo Phil und willkommen im Forum. =)
Ich mach`s so:
Wie wechselt Ihr die? Schaufelt Ihr die raus?
Ja, mit kleiner Schaufel schaufele ich Einstreu raus und in einen neben mir stehenden Müllsack. Dabei setzen sich die vorwitzigsten Mäusen gerne mitten auf die Schaufel.

Ich habe auch einen Kastraten, der gerne "hilft", bzw. er buddelt die Streu immer dorthin, wo ich sie gerade weggefegt habe.
Es geht. Ich habe mehrere große Eigenbauten in einem Raum und nehme mir einen kompletten Tag am Wochenende (meistens Samstag) fürs Saubermachen Zeit, weil man hinterher eigentlich erst richtig anfängt, nämlich wenn man überall Streu wegsaugt.

Aber anders geht`s ja nicht, und es muß nun mal gemacht werden.
Wichtig ist, daß man (wenn man selberbaut) von Anfang an überlegt, daß man auch überall gut rankommt, sonst ärgert man sich beim Saubermachen jedesmal neu. Große Türen, die leicht erreichbar sind, sind wichtig.
Wie verhindert Ihr in der Zeit, daß die Mäuse ausbüchsen?
Mäuse springen im allg. nicht von einer gewissen Höhe herab (die meisten tun das nicht, und die, die es tun würden, lernt man ganz schnell kennen...

). Ich kann die Türen offen lassen, die Mäuse laufen höchstens zur Kante und schauen herab, aber springen nicht.
Deine Schublade (nach Art von Kotschubladen in Vogelkäfigen) scheint mir für Mäuse nicht ganz so praktikabel, weil Mäuse hohes Einstreu benötigen zum Buddeln und Gängeanlegen. Wenn man solch eine Schublade herausziehen würde, würde man damit auch die Mäuse selbst mitrausziehen, die sich vielleicht gerade unterirdisch befinden. Man müßte sie alle wegtreiben (auf höhere Etagen zB), das stelle ich mir mühsamer für den Menschen und stressiger für die Mäuse vor, als wenn man mit Kehrblech und Schaufel das Streu zusammenkehrt.